MATEMATICAS: CAPITULO 8

CAP 8 NUMEROS NATURALES

8.1 AXIOMAS DE PEANO

8.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA

8.3 FACTORIAL

8.4 TEOREMA DEL BINOMIO

8.5 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

AXIOMAS DE PEANO

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.
Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
El 1 no es el sucesor de algún número natural.
Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de induccion matematica

Los cinco axiomas de Peano son:

A_1: N(1) \,

A_2: \forall x (N(x) \to N(x'))

A_3: \neg \exists x (N(x) \and 1=x')

A_4: \forall x \forall y ((N(x) \and N(y) \and x'=y') \to x=y)

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en logica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en logica de segundo orden.

A_5: \Big( \phi(1) \and \forall x (\phi (x) \to \phi(x'))\Big) \to \forall x \ \phi(x)

A_5': \forall \phi \bigg( \Big( \phi(1) \and \forall x (\phi (x) \to \phi(x'))\Big) \to \forall x \ \phi(x) \bigg)

INDUCCION MATEMATICA

En matematicas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar proposisciones que dependen de una variable

n\,

que toma una infinidad de valores enteros En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

El número entero

a\,

tiene la propiedad

P\,

. El hecho de que cualquier número entero

n\,

también tenga la propiedad

P\,

implica que

n+1\,

también la tiene. Entonces todos los números enteros a partir de

a\,

tienen la propiedad

P\,

Llamemos

P_n\,

a la proposición, donde

n\,

es el rango.

Base- Se demuestra que $P_0\,$ es cierta, esto es el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
Paso inductivo- Se demuestra que si $P_n\,$ es cierta, esto es, como hipótesis inductiva, entonces $P_{n+1}\,$ lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural $n\,$ (relación de inducción. Indicado como $n \Rightarrow n + 1$ ).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que

P_n\,

es cierto para todo natural

n\,

.
La inducción puede empezar por otro término que no sea

P_0\,

, digamos por

P_{n_0}\,

. Entonces

P_n\,

será válido a partir del número

n_0\,

, es decir, para todo natural

n \ge n_0\,

.
Ejemplo
Se probará que la siguiente declaración P ( n ), que se supone válida para todos los números naturales n .

0 + 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\,.

P ( n ) da una fórmula para la suma de los numeros naturales menores o igual a n . La prueba de que P ( n ) es verdadera para todos los números naturales procede como sigue.
Base: Se muestra que es válida para n = 0.
con P(0) se tiene:

0 = \frac{0\cdot(0 + 1)}{2}\,.

En el lado izquierdo de la ecuación, el único término es 0, entonces su valor es 0.
mientras que el término derecho, 0·(0 + 1)/2 = 0.
Ambos lados son iguales, n = 0. Entonces P(0) es verdadera.
Paso inductivo: Mostrar que si P(k) es verdadera, entonces P(k + 1) es verdadera. Como sigue:
Se asume que P(k) es verdadera (para un valor no específico de k). Se debe entonces mostrar que P(k + 1) es verdadera:

(0 + 1 + 2 + \cdots + k )+ (k+1) = \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}.

usando la hipótesis de inducción P(k) es verdadera, el término izquierdo se puede reescribir:

\frac{k(k + 1)}{2} + (k+1)\,.

Desarrollando:

\begin{align} \frac{k(k + 1)}{2} + (k+1) & = \frac {k(k+1)+2(k+1)} 2 \\ & = \frac{k^2+k+2k+2}{2} \\ & = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\ & = \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2} \end{align}

mostrando de hecho que P(k + 1) es verdadera.

FACTORIAL

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los numeros naturales) hasta n. Por ejemplo,

5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120. \

La función factorial es formalmente definida mediante el producto

n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n

La multiplicación anterior se puede simbolizar también utilizando el operador productorio:

n! = \prod_{k=1}^n k

También es posible definirlo mediante la relacion de recurrencia

n! = \begin{cases} 1 & \text{si, } n = 0 \\ (n-1)!\times n & \text{si, } n > 0 \end{cases}

En esta segunda definición el dominio de la función es el conjunto de los enteros no negativos ℤ_≥0 y el codominio es el conjunto de los enteros positivos ℤ₊. En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igualdad n! = (n - 1)!n se nombra ecuación recurrente.
Todas las definiciones anteriores incorporan la premisa de que

0! = 1

TEOREMA DEL BINOMIO

En matematica, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)ⁿ en una suma que implica términos de la forma ax^by^c, donde los exponentes b y c son numero natural con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un numero entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triangulo de pascal:

$\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier numero real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor que uno

SUCESIONES ARITMICAS Y GEOMETRICAS

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Diferencia

d = a_n - a_n-1

Término general de una progresión aritmética

a_n = a₁ + (n - 1) · d

a_n = a_k + (n - k) · d

Interpolación de términos

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.