MATEMATICAS: CAPITULO 6

CAP 6 ECUACIONES

6.1 INTERVALOS

6.2 VALOR ABSOLUTO

6.3 ECUACIONES EN UNA INCOGNITA

• ECUACIONES LINEALES

• ECUACIONES CUADRÁTICAS

• ECUACIONES CON RADICALES

• ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

• PROBLEMAS.

INTERVALOS

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

$(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

I = (a,b), \quad \forall x \in I: \quad a < x < b

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo, de suma importancia en asuntos de límites de funciones
Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

Que se indica: $I = [a,b]\$

En notación conjuntista:

I = [a,b], \quad \forall x \in I: \quad a \le x \le b

Si incluye únicamente uno de los extremos.

Con la notación $(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (a,b], \quad \forall x \in I: \quad a < x \le b

Y con la notación $[a,b)\$ o bien $[a,b[\$ ,

En notación conjuntista:

I = [a,b), \quad \forall x \in I: \quad a \le x < b

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la función signo, etc.
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅
Intervalo infinito
Incluye un extremo e infinito por la derecha.

Con la notación $[a,\infty)\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = [a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a \le x < \infty

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(a,\infty)$ ,

I = (a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a < x < \infty

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

Con la notación $(-\infty, a]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (-\infty, a], \quad \forall x \in I: \quad x \le a < \infty

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(-\infty,a)$ ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,a), \quad \forall x \in I: \quad x < a < \infty

Para todo valor real:

Y con la notación $(-\infty,\infty)$ ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,\infty), \quad \forall x \in R

VALOR ABSOLUTO

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.
En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.
De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a.
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.
Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
a)

Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.
d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2), pues x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.

ECUACIONES CON UNA INCOGNITA

ECUACIONES LINEALES

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).

Ecuaciones lineales equivalentes

Son aquellas que tienen la misma solución.

x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0

ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

ECUACIONES CON RADICALES

Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

Ejemplo: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) $\sqrt{3x-5} +1=x\;\!$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!$

a) $\sqrt{3x-5} +1=x$
$\sqrt{3x-5}=x-1$
Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:
$3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!$
Comprobación: $\begin{cases} \sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \ \mbox{valida} \\ \sqrt{3 \cdot 3 - 5} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3 \ \mbox{valida} \end{cases}$
a) $\sqrt{3x-5} +1=x$
$\sqrt{3x-5}=x-1$
Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:
$3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!$
Comprobación: $\begin{cases} \sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \ \mbox{valida} \\ \sqrt{3 \cdot 3 - 5} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3 \ \mbox{valida} \end{cases}$

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Una expresión que está dentro de las barras de valor absoluto puede ser más complicada que una simple variable, Cuando éstas expresiones incluyen otros valores y operaciones, debemos tener mucho cuidado, especialmente cuando resolvemos sus opuestos.

Para resolver |-2x| = 8, por ejemplo, debemos considerar dos posibilidades — que la expresión dentro de las barras de valor absoluto, -2x, sea positiva o negativa.

Si la expresión -2x es positiva, entonces

-2x = 8

Para resolver x, podemos dividir entre -2 cada lado de la ecuación y obtenemos

x = -4

Si la expresión -2x es negativa, entonces

-(-2x) = 8

Para resolver x, multiplicamos -2x por -1 y obtenemos

2x = 8

Luego dividimos cada lado de la ecuación entre 2 para obtener

x = 4

Entonces, la solución de |-2x| = 8 es

x = -4, 4

MAS INFORMACION: http://es.slideshare.net/nivelacion008/cap-6-ecuaciones

MATEMATICAS

miércoles, 9 de septiembre de 2015

CAPITULO 6

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