CAP 3 LOGICA Y
CONJUNTOS
3.1 PREDICADOS
3.2 CONJUTO DE
VERDAD
3.3 PREDICADOS
COMPUESTOS
3.4
CUANTIFICADORES
3.5 NEGACION
http://es.slideshare.net/nivelacion008/cap-3-logica-y-conjuntos
PREDICADOS
A veces es dif铆cil
o imposible enumerar un conjunto mencionando todos y cada uno de sus elementos.
Una manera 煤til de trabajar consiste en especificar dicho conjunto mediante una
propiedad que todos los elementos del conjunto tengan en comun.
La notaci贸n
\scriptstyle P(x) se usa para denotar la afirmaci贸n de que x tiene la propiedad
P (el nombre predicado se justifica porque muchos predicados gramaticales del
lenguaje ordinario son representables tienen propiedades l贸gicas similares a lo
predicados de la l贸gica matem谩tica). As铆 un cierto conjunto puede ser
presentado por la notaci贸n:
C = \{x|\ P(x)\}\,
que se lee como
«\scriptstyle C est谩 formado por todos los \scriptstyle x tales que
\scriptstyle P(x)» o dicho de otra manera el conjunto de elementos que tienen
cierta propiedad. Por ejemplo:
C_1 = \{x|\ (x\in \mathbb{N}) \land (x <
4) \} = \{ 1,2,3\}
El conjunto de los
n煤meros naturales que son menores o igual que cuatro, coincide con el conjunto
que consta de los elementos 1, 2 y 3.
De lo anterior se
sigue que cualquier elemento del conjunto \scriptstyle \{x|\ P(x)\} es un
objeto matem谩tico \scriptstyle t para el cual la proposici贸n \scriptstyle P(t)
es cierta.
Igualmente el
predicado \scriptstyle P(\cdot) puede interpretarse como una funcion
proposional tal que para cada argumento de la misma en el dominio de definicion
resulta el valor verdadero o falso seg煤n lo sea la proposional (logica) en su
referencia al mundo.
CONJUNTO DE VERDAD
El valor de verdad
de la proposici贸n «llueve y no llueve» es una contradiccion, y siempre ser谩
falsa, con independencia del valor que consideremos V o F de “llueve” (p) y de
“no llueve” (¬p). La funci贸n de verdad “no” se define mediante una tabla de
verdad Algebraicamente, el conjunto {verdadero, falso}, o funcion logica, forma
un algebra booleana simple (subdirectamente irreducible). Otras 谩lgebras
booleanas se pueden utilizar como conjuntos de valores de verdad en l贸gicas
multi-valuadas, mientras que la l贸gica intuicionista generaliza las 谩lgebras
booleanas a algebras de Heyting
En la teor铆a de
los topos, el clasificador de subobjetos de los topos toma el lugar del
conjunto de valores de verdad.
Esta nomenclatura
est谩 quiz谩s m谩s de acuerdo con los usos que prevalecen en matematicas que con
los de la filosofia
PREDICADOS COMPUESTOS
Existe una
relaci贸n muy estrecha entre la Teor铆a de Conjuntos y la L贸gica Proposicional.
Para mostrar dicha relaci贸n, denotemos por letras may煤sculas A,B ... los
conjuntos y por las correspondientes min煤sculas a,b ... sus propiedades
caracter铆sticas (es decir, la proposici贸n l贸gica que caracteriza a los
elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia:
| A 脥 B | |||||||
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en t茅rminos de l贸gica
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:
PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Los s铆mbolos
" (cuantificador universal) y $ (cuantificador existencial) se utilizan en
Matem谩ticas para enunciar proposiciones logicas relativas a objetos matem谩ticos.
Sea A un conjunto
y p(x) una proposici贸n o propiedad que hace referencia a un elemento x.
(1) Cuantificador
universal : La expresi贸n
" x 脦 A 脼 p(x)
se lee "para
todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposici贸n
{ x 脦 A : p(x) } = A
(2) Cuantificador
existencial : La expresi贸n
$ x 脦 A | p(x)
se lee
"existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposici贸n
{ x 脦 A : p(x) } ¹ 脝
La negaci贸n de
cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la
proposici贸n p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador
existencial, o viceversa.
As铆, la negaci贸n
de la proposici贸n "" x 脦 A 脼 p(x)" es "$ x 脦 A | p(x)'
", mientras que la negaci贸n de "$ x 脦 A | p(x)" es ""
x 脦 A 脼 p(x)' "
NEGACI脫N
De acuerdo a De
Morgan:
No es verdad que
todos los elementos del referencial satisfagan un predicado, es equivalente a
que, existe por lo menos un elemento del referencial que no satisface el predicado,
lo cual simb贸licamente
No es verdad que
exista un elemento del referencial que satisfaga el predicado, significa que,
todos los elementos del referencial no satisfacen el predicado, es decir:
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