CAP 3 LOGICA Y
CONJUNTOS
3.1 PREDICADOS
3.2 CONJUTO DE
VERDAD
3.3 PREDICADOS
COMPUESTOS
3.4
CUANTIFICADORES
3.5 NEGACION
http://es.slideshare.net/nivelacion008/cap-3-logica-y-conjuntos
PREDICADOS
A veces es difícil
o imposible enumerar un conjunto mencionando todos y cada uno de sus elementos.
Una manera útil de trabajar consiste en especificar dicho conjunto mediante una
propiedad que todos los elementos del conjunto tengan en comun.
La notación
\scriptstyle P(x) se usa para denotar la afirmación de que x tiene la propiedad
P (el nombre predicado se justifica porque muchos predicados gramaticales del
lenguaje ordinario son representables tienen propiedades lógicas similares a lo
predicados de la lógica matemática). Así un cierto conjunto puede ser
presentado por la notación:
C = \{x|\ P(x)\}\,
que se lee como
«\scriptstyle C está formado por todos los \scriptstyle x tales que
\scriptstyle P(x)» o dicho de otra manera el conjunto de elementos que tienen
cierta propiedad. Por ejemplo:
C_1 = \{x|\ (x\in \mathbb{N}) \land (x <
4) \} = \{ 1,2,3\}
El conjunto de los
números naturales que son menores o igual que cuatro, coincide con el conjunto
que consta de los elementos 1, 2 y 3.
De lo anterior se
sigue que cualquier elemento del conjunto \scriptstyle \{x|\ P(x)\} es un
objeto matemático \scriptstyle t para el cual la proposición \scriptstyle P(t)
es cierta.
Igualmente el
predicado \scriptstyle P(\cdot) puede interpretarse como una funcion
proposional tal que para cada argumento de la misma en el dominio de definicion
resulta el valor verdadero o falso según lo sea la proposional (logica) en su
referencia al mundo.
CONJUNTO DE VERDAD
El valor de verdad
de la proposición «llueve y no llueve» es una contradiccion, y siempre será
falsa, con independencia del valor que consideremos V o F de “llueve” (p) y de
“no llueve” (¬p). La función de verdad “no” se define mediante una tabla de
verdad Algebraicamente, el conjunto {verdadero, falso}, o funcion logica, forma
un algebra booleana simple (subdirectamente irreducible). Otras álgebras
booleanas se pueden utilizar como conjuntos de valores de verdad en lógicas
multi-valuadas, mientras que la lógica intuicionista generaliza las álgebras
booleanas a algebras de Heyting
En la teoría de
los topos, el clasificador de subobjetos de los topos toma el lugar del
conjunto de valores de verdad.
Esta nomenclatura
está quizás más de acuerdo con los usos que prevalecen en matematicas que con
los de la filosofia
PREDICADOS COMPUESTOS
Existe una
relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los
conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades
características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los
elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia:
| A Í B | |||||||
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:
PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Los símbolos
" (cuantificador universal) y $ (cuantificador existencial) se utilizan en
Matemáticas para enunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemáticos.
Sea A un conjunto
y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x.
(1) Cuantificador
universal : La expresión
" x Î A Þ p(x)
se lee "para
todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición
{ x Î A : p(x) } = A
(2) Cuantificador
existencial : La expresión
$ x Î A | p(x)
se lee
"existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición
{ x Î A : p(x) } ¹ Æ
La negación de
cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la
proposición p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador
existencial, o viceversa.
Así, la negación
de la proposición "" x Î A Þ p(x)" es "$ x Î A | p(x)'
", mientras que la negación de "$ x Î A | p(x)" es ""
x Î A Þ p(x)' "
NEGACIÓN
De acuerdo a De
Morgan:
No es verdad que
todos los elementos del referencial satisfagan un predicado, es equivalente a
que, existe por lo menos un elemento del referencial que no satisface el predicado,
lo cual simbólicamente
No es verdad que
exista un elemento del referencial que satisfaga el predicado, significa que,
todos los elementos del referencial no satisfacen el predicado, es decir:
No hay comentarios:
Publicar un comentario