CAPITULO 1

CAP 1 LÓGICA MATEMÁTICAS

1.1 PROPOSICIONES

1.2 OPERADORES LOGICOS

1.3 PROPOSICIONES MOLECULRES

1.4 FORMAS PROPOSICIONALES

1.5 BICONDICIONAL. EQUIVALENACIAS LÓGICAS

1.6 ALGEBRA DE PORPOSICIONES

1.7 RAZONAMIENTOS

PROPOSICIONES:

Son afirmaciones a las que se les puede asignar o bien un valor de verdad de VERDADERO o bien un valor de verdad de FALSO 

EJEMPLOS

1 "Hoy es Lunes" (suponga que efectivamente estamos en el día lunes de la semana, entonces esta expresión será una afirmación verdadera).
2.  "Estoy en la clase de matemáticas" (suponga que la persona que emite esta afirmación, efectivamente está presenciando la clase de matemáticas; en este caso esta expresión será una afirmación también verdadera).
3. "Estoy en España" (suponga ahora que la persona que emite ésta frase se encuentra en Ecuador y no en España, entonces esta afirmación será una proposición falsa).
Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos o mandatos; no son consideradas como proposiciones por la Lógica Matemática.

EJEMPLOS

1.   ¡Ojalá Llueva! 

2.   ¿Hiciste el deber de Matemáticas? 

3.    Siéntate y estate quieto.

https://www.youtube.com/watch?v=gfDvwvPoLSg

  

VALOR DE VERDAD:

El valor de verdad de una proposicion es la cualidad de la veracidad que describe adecuadamente la proposicion. Éste puede ser verdadero o falso 

OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS

·        No

·         No es verdad que

·         No es cierto que

 NEGACIÓN

 La negación se presenta con los términos:        

El SÍMBOLO LÓGICO que se emplea para traducirla es:

Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique todas estas posibilidades formamos  la llamada TABLA DE VERDAD.

 Observe que:

El operador NEGACIÓN CAMBIA EL VALOR DE VERDAD de una proposición.

 CONJUNCIÓN

 Este operador lo tenemos cuando enlazamos proposiciones con el término               

En lenguaje formal se lo traduce con el SÍMBOLO: 

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Seguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite, lo uno ó lo otro pero no ambas cosas.

EJEMPLO:

1. "Daniel está en España o Italia"

2. "Jessica tiene una altura de  1.70 m. o 1.65 m."

3. "El motivo del crimen fue o bien el robo o bien la venganza"

Estos ejemplos se los puede interpretar como:

"Daniel está en España o está en Italia, pero no puede estar en ambos lugares a la vez"

"Jessica tiene una altura de 1.70 m. o una altura de 1.65 m., pero no puede tener ambas estaturas a la vez"

"El motivo del crimen fue sólo el robo o sólo la venganza"

En el último ejemplo, con el término "sólo" desechamos la idea de que el motivo del crimen sea el robo y la venganza a la vez.

Entonces el término en lenguaje común sería:  "ó…ó…". Como también  el término "o bien……o bien…..".

El símbolo lógico que se emplea para traducirla es: . Aunque también se emplea el símbolo    Sin embargo, la disyunción exclusiva se la traduce en término de la disyunción inclusiva de la  forma:

Por lo tanto, se podría decir que:

La DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de dos proposiciones es FALSA siempre y cuando ambas proposiciones sean falsas y también cuando ambas sean verdaderas.

ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA

Este es el conector lógico más importante. Llamado también condicional o implicación.

Aparece cuando enlazamos dos proposiciones  y  de la forma: "Si  entonces " ,

EJEMPLO:

Supóngase que un padre le dice a su hijo:

  "Si apruebas el preuniversitario  entonces te regalaré un carro".

Bien, ahora piense que:

1. Efectivamente el hijo aprueba el preuniversitario, y que el padre le regala el carro. Entonces el padre  ha dicho una verdad.

2. Si el hijo aprueba el preuniversitario y el padre no le regala el carro. Entonces el padre ha dicho una MENTIRA (FALSEDAD).

3. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y sin embargo el padre le regala el carro, aunque no está obligado a hacerlo. Entonces el padre NO ha dicho una MENTIRA.

4. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y el padre no le regala el carro. El padre tampoco  ha dicho una MENTIRA

 

Por lo tanto, se podría decir que:

La ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA es FALSA sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Vale la pena recalcar que, no es necesario que exista relación causal entre la proposición "" y la proposición . El valor de verdad de la nueva proposición depende de los valores de verdad de cada una de las proposiciones.

 CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES

En ocasiones, una enunciación hipotética verdadera, en donde existe relación causal entre el antecedente y el consecuente  , se interpreta como:

 Lo cual nos indica otras dos formas de lenguaje relacionado para la enunciación hipotética

EJEMPLO:

"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"

Este enunciado puede ser interpretado, parafraseándolo de la siguiente manera:

 "Es SUFICIENTE que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2"

  O también:

 "Es NECESARIO que un número sea divisible para 2, para que sea divisible para 4" (también: "si un número es divisible para 4, necesariamente será divisible para 2")

Es importante mencionar que si se intercambia el antecedente con el consecuente la enunciación hipotética cambia.

EJEMPLO

Considerando el ejemplo anterior, al enunciar la proposición de la siguiente forma: 

  " Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4"

  es FALSA; porque es indudable que existen números divisibles para 2 que no son divisibles para 4 (6 por ejemplo).

El enunciado anterior también puede ser parafraseado de las siguientes formas:

·  " La divisibilidad para 4 implica la divisibilidad para 2 "

·  " Un número es divisible para 4 sólo si es divisible 2"

·  " Basta que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2".

·  " Un número es divisible para 2 siempre que sea divisible para 4"

·  " Un número es divisible para 2 si es divisible para 4"

·  " Un número es divisible para 2 puesto que es divisible para 4"

·  " Un número es divisible para 2 ya que es divisible para 4"

·  " Un número es divisible para 2 cada vez que sea divisible para 4"

·  " Un número es divisible para 2 cuando es divisible para 4"

·  " Un número es divisible para 2 debido a que es divisible para 4"

·  " Un número es divisible para 2 porque es divisible para 4"

VARIACIONES DE LA CONDICIONAL

EJEMPLO: 

Sea la proposición:

“Iré el sábado, si me pagan”

Primero identifiquemos el antecedente   : Me pagan y el consecuente : iré el sábado  

Luego tenemos:  

“Si me pagan, entonces iré el sábado”   

De aquí:

recíproca: “Si voy el sábado, entonces me pagan”

inversa: “Si no me pagan, entonces no iré el sábado”

ContrarRecíproca: “Si no voy el sábado, entonces no me pagan

 

PROPOSICIONES MOLECULARES

Las PROPOSICIONES MOLECULARES son expresiones que están compuestas por varias proposiciones conectadas por operadores lógicos. A las proposiciones simples, en las que no aparecen operadores lógicos, se las denominan PROPOSICIONES ATÓMICAS.

Las proposiciones atómicas para este ejemplo serían

El valor de verdad de la proposición molecular depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

FORMAS PROPOSICIONALES

Una forma proposicional es una expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales.

Donde  son variables proposicionales, que pueden representar proposiciones atómicas o proposiciones moleculares.

Si reemplazamos a  por proposiciones falsas y verdaderas los resultados son proposiciones moleculares.

El número de proposiciones moleculares que se generan es igual a  donde  es el número de variables proposicionales.

Para más variables repetir el proceso de forma análoga. Existen formas proposicionales muy singulares y que van a ser de mucho interés para nuestras necesidades.

TAUTOLOGÍA: 

 Forma proposicional cuya estructura lógica da  lugar a proposiciones verdaderas para todos los casos de valores de verdad de las variables proposicionales que las componen

Cuando una forma proposicional no es tautológica se la llama falacia.

CONTRADICCION:

Forma proposicional cuya estructura lógica da  lugar a proposiciones falsas, sin importar el valor de verdad de sus variables

 BICONDICIONAL

Un nuevo operador lógico es la doble implicación, llamado también

BICONDICIONAL.

La bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas, es decir cuando tienen el mismo valor de verdad. Caso contrario es falsa

ALGEBRA DE PROPOSICIONES

RAZONAMIENTOs

Bien ya podemos dedicarnos a una estructura lógica muy importante, que es el objetivo que nos habíamos propuesto.

El tipo de razonamiento que vamos a considerar estará constituido por una enunciación hipotética que tiene como antecedente una conjunción de hipótesis o premisas. Es decir, su estructura lógica será de la forma:

Estamos interesados en saber si un razonamiento es válido o no, es decir si la conclusión es lógicamente inferida de las hipótesis

Validez de un razonamiento

Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que se obtiene de la proposición molecular que lo define, es tautológica. Es decir una Implicación Lógica

mas informacion:

 http://www.monografias.com/trabajos4/logica/logica.shtml