CAPITULO 11

CAP 11 FUNCIONES POLINOMIALES

Definición

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 
f(x) = anXn + an1 − 1Xn − 1 + an − 2Xn − 2 + ... + a1 + a0 donde a0,a1,...,an son números reales 
y n es un entero no negativo. 
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n. 

Ejemplo #1

f(x) = 3x⁵ − x² + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5. 

FUNCIONES POLINÓMICAS:

 Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”. Son funciones polinómicas : La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior. Dominio y Rango de una Función Ing. José Luis Albornoz Salazar - 2 - 

EJERCICIO 1 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3 Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales. Dom f(x) = R El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre. Rango = (– ∞ , + ∞ ) 




EJERCICIO 2 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = X2 – 2X – 3 Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales. Dom f(x) = R El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4. Rango = [– 4 , + ∞ ) 

Función Lineal

Una funcion lineal es una función polinomial de grado 1.

f(x) = ax + b

Función Cuadratica

Si el grado de una funcion polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.

f(x) = ax² + bx + c

Función Racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

Q(x) = f(x) / g(x) se llama función racional.

Función Algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

Funciones Trascendentes

Las funciones trascendentes son las trigonometricas, exponencial y logaritmicas

Teorema del valor intermedio

Si es una función polinomial y para , entonces toma todo valor entre y en el intervalor .

Ejemplo #2

Demuestre que f(x) = x⁵ + 2x⁴ − 6x³ + 2x − 3 tiene un cero entre 1 y 2.
Al sustituir con 1 y 2 se obtienen estos valores de la función:

f(1) = 1 + 2 − 6 + 2 − 3 = − 4
f(2) = 32 + 32 − 48 + 4 − 3 = 17<center> Dado que y tienen signos contrarios vemos que para almenos un número real entre 1 y 2.

Intervalo
Signo de
Signo de
Signo de
Signo de
Posición en la Grafica	Abajo del eje	Arriba del eje	Abajo del eje	Arriba del eje

Grafica


 

Ceros De Polinomios

Si P es un polinomio y c es un numero tal que P(c), entonces decimos que c es un cero de P. A continuacion se presentan formas equivalentes de decir lo mismo:
1. c es un cero de P 2. x = c es una raiz de la ecuacion P(x)=0 3. x-c es un factor de P(x) 4. x=c es una interseccion en x de la grafica de P
Entre cualesquiera dos ceros sucesivos del polinomio, los valores del mismo seran todos positivos o negativos. Por lo tanto, entre dos ceros sucesivos la grafica se encontrara en su totalidad por encima o por debajo del eje x.
El comportamiento final esta determinado por el termino en el polinomio que tiene la potencia mas alta de x.

Recomendaciones Para Graficar Un Polinomio

1. Factorice el polinomio para determinar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje x de la grafica.
2. Elabore una tabla de valores del polinomio evaluando x entre y, a la izquierda y a la derecha de los ceros determinados en el paso 1.
3. Grafique las intersecciones y los puntos determinados.
4. Determine el comportamiento final del polinomio.
5. Trace la curva suave que pase por los puntos graficados en el paso 3. y que exhiba el comportamiento final.