MATEMATICAS: CAPITULO 13

CAP 13

13.1 Definición

13.2 Dimensión

13.3 Clases de matrices

13.4 Igualdad de matrices

13.5 Operaciones

13.6 Determinante

13.7 Matriz inversa

DEFINICION

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a_ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a_ij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a₂₅ será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

DIMENSIONES

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a_ij.

CLASES DE MATRICES

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

IGUALDADES DE MATRICES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales. En este video se explica esta definición y se hacen ejemplos
Inicialmente tomamos un par de matrices A,B en el conjunto de las matrices de orden mxn con entradas reales. En nuestra notación vamos a decir que A es simplemente aquella matriz que tiene elementos a de ij. Igualmente decimos que B es la matriz con entradas b de ij. Si observamos que A y B son elementos del conjunto de matrices de orden mxn, y nos preguntamos ¿cuándo una matriz A es igual a una matriz B? Por definición la matriz A es igual a la matriz B, tienen la misma dimensión y si los elementos están en la misma posición y son iguales. En este video se desarrollan algunos ejemplos para entender mejor la igualdad de matrices.
Recordemos que para que dos matrices sean iguales los elementos deben ser iguales y estar ubicados en la misma posición. También se explican en el video algunos tipos especiales de matrices. El primero es cuando tenemos una matriz A perteneciente al conjunto de las matrices de orden mxn con entradas reales, y dicha matriz para todo ij es igual a cero, es decir, todas las entradas de nuestra matriz son el número real cero (matriz nula o matriz cero). El segundo caso es cuando tenemos una matriz A perteneciente al conjunto de las matrices de orden nxn con entradas reales, la cual tiene como elementos el cero si “i” es diferente de “j”, y 1 si i=j (llamada matriz identidad de orden n)

OPERACIONES

Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A=(a_ij), B=(b_ij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(s_ij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico s_ij=a_ij+b_ij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices

A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
A + 0 = A (0 es la matriz nula)
La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

Producto de una matriz por un número El producto de una matriz A = (a_ij) por un número real k es otra matriz B = (b_ij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento b_ij de B se obtiene multiplicando a_ij por k, es decir, b_ij = k·a_ij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar

k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
(k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
1·A = A (elemento unidad)

DETERMINANTES
Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

, con

(S_n es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)
También se suele escribir:

MATRIZ INVERSA

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I

Propiedades

1 (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹

2 (A⁻¹)⁻¹ = A

3 (k · A)⁻¹ = k⁻¹ · A⁻¹

4 (A^t)⁻¹ = (A⁻¹)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A⁻¹, seguiremos los siguientes pasos:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F₂ = F₂ − F₁